音名与频率的对应关系

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引言

众所周知,我们听到的声音是由于振动而产生的。声音的传播形式是波,那么它就会具有“频率(frequency)”这个属性。我们所听到的各种乐器,例如钢琴、小提琴,它们为何能演奏出相同的音高呢?这就要牵涉到音名与频率了。

这个话题的起源源于昨晚的一次群聊,我们在讨论各种钢琴音源,然后有人说:“mdaPiano!”然后我就附和说:“mdaPiano特别好听,简直是钢琴界的黑马。高音支持到B9999999,低音支持到A-12138!”说完,我突然想:“不对,这我要计算一下。”于是开始了计算大坑。计算过程我们留到后面再说,我们要先学习音名和频率的互换。

十二平均律

现行的国际标准音高为1939年5月国际标准协会在伦敦通过的A4=440Hz。下面所有的计算都以它为绝对标准。现在国际上用得最多的律制是十二平均律,它是由我国明朝音乐家朱载堉发明的。我们现在可以提取一些关键的信息:

A4与A5之间的频率比是1:2。
一个八度被分为12个半音,一个半音被细分为100个音分。

半音和音分

那么我们就可以推得A5的频率是880Hz,同样地,A3的频率是220Hz。而A3-A4之间差距的220Hz是12个半音,那么我们就可以轻易推得A3-A4间的任意音名的频率了。

由于音名和频率之间并不是线性关系,当音高非常高时,半音间的频率差距也会非常巨大,所以我们必须要精确到音分级。前面已经说过一个半音被分成100个音分,那么一个八度就被分为1200个音分。但,差距的220Hz究竟是怎么得来的呢?那么这个时候,我们就要接触两个概念:半音比和音分比。

半音比

因为相邻半音(semitone)和音分之间的频率差距并不是简单的加减变化,设想若是简单的加减变化,而每个八度之间的频率差距并不相同,若是简单地平分,那么就会出现例如C5和C4的频率比不是2的问题。所以相邻半音和音分间的频率比一定相同。由于一个八度间的频率比是2(高比低),那么开十二次根号就是半音比了,也就是root{12}{2}。计算可以得到root{12}{2} {approx}1.0594630943592952646。根据我们之前所知道的A4的频率是440Hz,我们便可以求得C4的频率。

f(C4)={{f(A4)}/{root{12}{2}^9}}=220Hz*{2^{1/4}}{approx}261.62556530059863468Hz

以此类推,我们还可以计算出#C4的频率,这里就有两种算法了:

f={{f(A4)}/{root{12}{2}^8}}=220Hz*{2^{1/3}}{approx}277.18263097687209625Hz

f={f(C4)}*{root{12}{2}}=220Hz*{2^{1/3}}{approx}277.18263097687209625Hz

第一种方法是根据A4频率反推的,第二种是根据C4频率正推的。两种方法结果是一样的。

音分比

前面已经说过,把一个半音再分为100份便得到了音分(cent)。那么我们可以如法炮制地计算出音分比。root{12}{2}再开100次根号便是root{1200}{2}。计算可以得到root{1200}{2} {approx}1.0005777895065548593

例如我们要计算A4高18音分的频率,就要把A4的频率乘以音分比的18次方。

f'=f(A4)*{root{1200}{2}^{18}}=440Hz*{2^{3/200}}{approx}444.59863645417606381Hz

逆运算

在学习了半音和音分的基本计算之后,我们要学习一下基本逆运算。逆运算可以让我们根据频率推算音名。就如同指数运算与对数运算一样。例如我们已知频率为27.5Hz,求它对应的音名。根据之前的推导我们便可列出一个通用方程。

f1*{P^n}=f2

这里的P指的就是半音比或音分比。f1我们已知是440Hz,f2也已知是27.5Hz,那么我们要求的就是中间要变化的次数,也就是半音数或音分数,再根据一个八度包含12个半音或1200个音分就能推出对应的音名。

440Hz*{root{12}{2}^{n}}=27.5Hz

解上述方程可得n=-48。也就是A4往下低48个半音就是27.5Hz,也就是低4个八度。那我们就求得了:27.5Hz对应的是A0。

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